Цилиндр
Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости. К телам вращения относятся цилиндр, конус и шар.
Цилиндр — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Возьмем прямоугольник АВСD. Будем вращать этот прямоугольник против часовой стрелки вокруг стороны АD.
Прямая АD — ось цилиндра.
Отрезок АD — высота цилиндра.
Основания цилиндра — два равных круга образованных при вращении сторон АВ и DC (круги равные, т.к. стороны АВ и DC равны как противоположные стороны прямоугольника).
Радиус цилиндра — радиус оснований цилиндра.
Цилиндрическая поверхность (или боковая поверхность цилиндра) — поверхность, образованная при вращении стороны ВС и состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра (АD).
Образующие цилиндра — отрезки, из которых составлена боковая поверхность цилиндра (на рисунке выше указаны образующие ВС и ЕК).
Определение
Объем цилиндра
Доказательство:
Дано: цилиндр с площадью основания S, высотой h и объемом V.
Доказать: V = Sh.
Доказательство:
Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости.
Любая секущая плоскость, параллельная плоскости, на которой стоят цилиндр и призма, дает в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объем цилиндра равен объему призмы. Но объем призмы равен Sh. Поэтому и объем цилиндра равен Sh, т.е. V = Sh. Что и требовалось доказать.
Площадь боковой поверхности цилиндра
Рассмотрим цилиндр с радиусом r и высотой h.
Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из его образующих АD и развернули так, что получился прямоугольник АDА1D1, стороны АD и А1D1 которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.
Сторона АА1 прямоугольника АDА1D1 равна длине окружности основания, а сторона АD равна высоте цилиндра, т.е. АА1 = 2
r, АВ = h. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, значит, площадь прямоугольника АDА1D1 равна 2rh.
| Площадь Sбок боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т.е. Sбок = 2rh. |
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Источник
Цилиндр- тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из своих сторон.
Sб = 2Пrh — площадь боковой поверхности цилиндра
Sп = 2Пrh + 2Пr 2 — площадь полной поверхности цилиндра
Конус – тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета, являющегося высотой конуса.
Sб = Пrl — площадь боковой поверхности конуса
Sп = Пrl + Пr 2 — площадь полной поверхности конуса
Усечённый конус
Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между основанием конуса и плоскостью, параллельной основанию
Sб = П(R+r)l — площадь боковой поверхности усечённого конуса
Sп = Пl(R+r) + Пr 2 +ПR 2 — площадь полной поверхности усечённого конуса
V=1/3Пh(r 2 + R 2 +Rr) – объём усечённого конуса
Сфера и шар
Площадь поверхности и объём шара
Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Радиус сферы R – отрезок соединяющий центр и любую точку сферы.
Диаметр сферы – отрезок соединяющий 2 точки сферы и проходящий через её центр, равный 2R.
Шар – тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ И ПЛОСКОСТИ.
1. d 2 -d 2 >0, все точки этой окружности являются общими точками окружности и сферы.
Если расстояние от центра сферы до плоскости
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d=0 – больший круг шара.
О – общая точка сферы и плоскости
Если расстояние от центра сферы до плоскости равно R сферы, то они имеют только одну общую точку.
3. d>R, тогда R 2 -d 2 АО т. е. точка М лежит вне сферы. Следовательно, у сферы и плоскости а только одна общая точка А, т. е. плоскость а – касательная к сфере.
1. Шаровой сегмент — тело, отсекаемое от шара плоскостью.
Отрезок радиуса, перпендикулярного к плоскости сечения, между этой плоскостью и поверхностью шара называется высотой сегмента.
Sшар.сегм.=2П Rh; Vшар.сегм.= П h ( R- h/3)
2. Шаровой слой — тело, отсекаемое от шара двумя параллельными плоскостями. Сферическая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом.
Расстояние между параллельными плоскостями называется высотой шарового слоя.
3. Простой шаровой сектор — тело, полученное вращением кругового сектора вокруг своего радиуса.
Если ось вращения не совпадает с радиусом, ограничивающим круговой сектор, то в результате вращения этого сектора вокруг оси получается полый шаровой сектор.
Vшар.сек.= 2/3П R h
Примеры решения задач
- Образующая конуса равна 6 см и наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . Найдите высоту конуса.
 | Дано: Конус, |SA|=6 см,  SAO=  . Найти |SO|. |
Рассмотрим 
SOА — прямоугольный.
sin 60 0 = 
= 
sin 60 0 = 6 
= 3 
см.
Ответ. |SO| = 3 см.
2.Площадь основания конуса равна 16 
дм 2 , а боковая поверхность 20 дм 2 . Найдите объем конуса.
 Дано: конус; So = 16 дм 2 , Sбок = 20 дм 2 . Найти: V |
V = 
Soh;
Так как в основании конуса лежит круг, то 
2 = 16 ;
2 = 16;
= 7 (дм).
Sбок = 
.
Подставим в формулу = 4, Sбок = 20 .
4 = 20 ;
= 5 (дм).
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора |SO|= 
V = 16 3 = 16 (дм 3 ).
Ответ. V = 16 (дм 3 ).
Контрольные задачи
1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м 2 , а площадь основания — 4 м 2 . Найдите высоту цилиндра.
2. Высота и образующая конуса относятся как 35:37. Полная поверхность конуса равна 588 см 2 . Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.
3. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.
4. Радиусы оснований усеченного конуса и его высота относятся как 3:6:4. Вычислите боковую поверхность и объем конуса, если его образующая равна 25 см.
5. Высота усеченного конуса равна 3 см. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого, а образующая наклонена к основанию под углом 450. Найдите боковую поверхность и объем этого конуса.
6. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
7. Боковая поверхность конуса 15 дм2, а полная поверхность 24 дм 2 . Найдите объем конуса.
8. Боковая поверхность конуса 15 дм 2 , а полная поверхность 24 дм 2 . Найдите объем конуса.
9. Образующая усеченного конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . Зная, что радиус большего основания равен 5 см, найдите боковую поверхность и объем усеченного конуса.
10. Угол между образующей и осью конуса равен 45 0 , образующая равна 6,5 см. Найдите радиус основания конуса.
11. Высота усеченного конуса равна 3 см. Радиус одного основания вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию под углом 450. Найдите площадь боковой поверхности и объем этого конуса.
12. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, образующая равна 10 см. Найдите высоту усеченного конуса.
13. Площадь основания конуса 9 см 2 , полная поверхность его 24 см 2 . Найдите объем конуса.
14. Площадь основания конуса 9 см 2 , полная поверхность его 24 см 2 . Найдите объем конуса.
15. Высота цилиндра на 10 см больше радиуса его основания, площадь полной поверхности равна 264 см 2 . Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
16. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите образующую, если радиус основания конуса равен 6 см.
17. Радиусы оснований усеченного конуса 6 м и 2 м, образующая наклонена к основанию под углом 45 0 . Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.
18. Шар пересекает плоскость на расстоянии 9 см от центра, площадь сечения
1600 см 2 . Найдите радиус шара
19. Поверхность шара равна 225 м 2 . Определите его объем.
Сроки выполнения задания: при изучении данной темы, в течение семестра.
Критерии оценки задания: для получения зачёта за самостоятельную работу по данной теме необходимо выполнить не менее 15 задач из предложенных, решая задания нужно делать ссылки на используемый теоретический материал. Оформляется работа в тетради для самостоятельных работ.
Дата добавления: 2019-01-14 ; просмотров: 436 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Источник
