Применение теоремы Остроградского — Гаусса для расчета электростатического поля бесконечного заряженного цилиндра
Пусть бесконечный цилиндр радиуса R равномерно заряжен с линейной плотностью заряда t > 0, что соответствует положительно заряженному цилиндру. Силовые линии электрического поля направлены в любой точке вне цилиндра по радиальным линиям (рис. 12.4). Найдем напряженность поля вне цилиндра, на расстоянии r > R от его оси. Проведем вспомогательную цилиндрическую поверхность 
длиной l и радиусом r, которая охватывает цилиндрический проводник. В любой точке поверхности вектор Eнаправлен вдоль вектора 
. Рассмотрим элемент проводника длиной dl. Заряд, заключенный на поверхности элементарного цилиндра радиуса R:
(12.15)
Найдем поток вектора Eчерез боковую поверхность вспомогательного цилиндра S’:
(12.16)
Согласно теореме Остроградского — Гаусса
(12.17)
следовательно 
отсюда находим напряженность электрического поля вне цилиндра:
(12.18)
Выразим напряженность поля через линейную плотность заряда t:
(12.19)
Внутри цилиндра напряженность поля E = 0, т.к. заряды равномерно распределяются по поверхности. Вне цилиндра напряженность электрического поля изменяется обратно пропорционально r и совпадает по величине с напряженностью поля бесконечной заряженной нити, расположенной вдоль оси цилиндра.
ГЛАВА 13. РАБОТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
Теорема остроградского гаусса для бесконечного цилиндра
Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.
Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:
где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.
Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность 
во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).
Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.
Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).
 | |
| Рис. 2.11 | Рис. 2.12 |
Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток ФЕ через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к . 
Дляоснования цилиндра 
Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:
Внутри поверхности заключен заряд 
. Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:
откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:
Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости 
Поле двух равномерно заряженных плоскостей
Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).
Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей 
.
Вне плоскостей напряженность поля 
Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).
Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):
Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.
Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:
где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. 
, то
Это формула для расчета пондермоторной силы.
Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)
Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью 
, где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).
Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.
Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров 
для боковой поверхности 
т.е. зависит от расстояния r.
Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен 
При 
на поверхности будет заряд 
По теореме Остроградского-Гаусса 
, отсюда
Если 
, т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).
Если уменьшать радиус цилиндра R (при 
), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при 
, получить нить.
Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком
Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать 
(рис. 2.16) .
В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:
Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).
Поле заряженного пустотелого шара
Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. 
,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).
Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда
Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: 
Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.
Поле объемного заряженного шара
Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:
Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный
где ρ – объемная плотность заряда, равная: 
; 
– объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:
Таким образом, внутри шара 
Источник
