Цилиндр вписан в конус с образующей l 16 см прямая
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса.
Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите 
где 
—площадь основания, а 
— высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в 
°: — он вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?
где — площадь основания, а — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.
V=1/3Sh-это формула объёма пирамиды!
Она же формула объема конуса.
Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, высоту конуса можно уменьшить в 3 раза (вообще говоря, в n раз) : 1) полагая неизменным основание (радиус основания) конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию конуса проводится сечение, делящее высоту в отношении 1:3 (1:n), и получается отсечённый конус с высотой, уменьшенной в 3 раз (в n раз). Во втором случае, учитывая, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3, а объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем меньшего конуса в 27 раз меньше объема большего конуса.
В добавление замечу, что возможен ещё третий случай, когда высота конуса уменьшается в 3 раза (вообще говоря, в n раз): если образующая не меняется. При этом изменяются телесный угол (увеличивается), а радиус основания (увеличивается), так как образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора. В данном случае ответ будет соответствующим образом зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса. Например, если у исходного конуса положить угол между образующей и плоскость основания равным 45 град., то, в результате несложных вычислений, мы получим объём конуса (с уменьшенной в 3 раза высотой и той же самой образующей): V2 = 17/27*V1 или V2/V1 = 17/27.
Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?
где — площадь основания, —высота конуса, а 
— радиус основания. При увеличении радиуса основания в 1,5 раза объем конуса увеличится в 2,25 раза.
Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, радиус основания конуса можно увеличить в 1,5 раза (вообще говоря, в n раз): 1) полагая неизменной высоту конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию исходного конуса проводится сечение конической поверхности (часть которой является боковой поверхностью исходного конуса), проходящее через точку на продолжении высоты конуса, отстоящую от вершины в 1,5 раза (в n раз) дальше основания высоты исходного конуса, и, таким образом, получается отсечённый конус с радиусом, увеличенным в 1,5 раза (в n раз), так как больший конус подобен меньшему с коэффициентом 1,5; или 3) полагая неизменной образующую конуса (при этом, изменяются телесный угол (увеличивается) и высота конуса (уменьшается), а образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора).
Во втором случае, учитывая, что объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем большего конуса в 3,375 раза (в n в кубе раз) больше объёма меньшего конуса, то есть, объём конуса увеличится в 3,375 раза (в общем случае – в n в кубе раз).
В третьем случае ответ будет зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса (так как образующая, высота и радиус основания связаны по теореме Пифагора).
Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на 
По теореме Пифагора найдем, что радиус основания равен 
Тогда объем конуса, деленный на 
:
Источник
Цилиндр вписан в конус с образующей l 16 см прямая
В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.
Пусть 
— осевое сечение конуса, О — центр шара, вписанного в этот конус, E — точка касания шара и конуса.
Из условия задачи следует, что — равнобедренный (AB = BC). Очевидно, что точка О лежит на биссектрисе 
которая также служит медианой и высотой 
l — образующая конуса (отрезки AB и BC); R — радиус основания конуса (отрезок AD); H — высота конуса (отрезок BD); r — радиус шара (отрезок OE); 
— площадь сферы (площадь поверхности шара); 
— полная поверхность конуса; 
— объем шара; 
— объем конуса.
Очевидно, что 
Рассмотрим прямоугольные треугольники BEO и BDA с общим острым углом OBE. 
Отсюда: 
т. е.
Найдем отношение объема шара к объему конуса:
Теперь найдем отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности конуса:
Однако, оказалось, что 
Значит, 
Поскольку нам требуется найти отношение удвоенного объема шара к объему заданного конуса, то таким отношением будет 24 : 49.
В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.
а) Найти объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам.
б) Найти наибольший объем вписанного цилиндра.
а) Обозначим радиус основания конуса за 
высоту за 
за и — радиус и высоту цилиндра. Проведем осевое сечение конуса. В нем верхнее основание цилиндра будет средней линией треугольника, поэтому радиус цилиндра вдвое меньше радиуса конуса. Высота цилиндра — тоже половина высоты конуса. Объем конуса равен:
б) В осевом сечении образуются два подобных треугольник (см. рисунок). Значит,
Значит, 
Объем цилиндра равен:
Нужно максимизировать 
Возьмем производную по 
Крайние значения можно не проверять ( 
или 
там объем равен нулю). Имеем:
На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар.
а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара.
б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса.
Изобразим осевое сечение комбинации заданных тел (см. рисунок).
а) Пусть образующая конуса равна 2а, высота — 2r. Тогда: полная поверхность конуса
Ясно, что 2r — это диаметр шара.
Выразим зависимость r и a.
Поверхность шара 
Итак, 
что и требовалось доказать.
б) Часть конуса, которая лежит внутри шара (объем этого тела обозначим V1)представляет собой объединение:
другого равностороннего конуса, осевым сечением которого является ΔMBN (его объем обозначим Vk1, высоту — hk1);
шарового сегмента MDN (объем обозначим Vσ), высота hσ которого равна 
Часть шара, лежащая вне конуса (объем обозначим V2), есть дополнение только что рассмотренного геометрического тела до построенного шара (объем обозначим Vш).
Ответ: 
Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°.
а) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны
б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так
же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен 
а) Пусть радиус основания цилиндра равен 
а высота 
Тогда тангенс угла наклона образующей есть 
откуда 
и образующая конуса равна 
Вычислим теперь площади боковой поверхности цилиндра и конуса. Это 
и 
что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим сечение цилиндра и конуса осевой плоскость, проходящей через центр сферы. Все точки касания будут лежать в этой плоскости. В сечении получим окружность, вписанную в прямоугольный треугольник со сторонами 
поэтому ее радиус равен
C другой стороны, как мы знаем,
откуда 
поэтому искомый радиус равен 1.
Источник
